|
Найти такие натуральные m, n, что m и n взаимно просты и m / n = 3,(2021)
Математический анализ
|
|
Вычислите $ \sqrt[4]{-8 - 8\sqrt{3}i} $
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Найдите базис и размерность подпространства U ⊆ $ R^5 $, являющегося множеством решений системы
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Подпространство U ⊆ $ R^5 $ задано как линейная оболочка векторов $ v_1, v_2, v_3, v_4 $ (а) Выберите среди данных векторов базис подпространства U.(б) Среди векторов $ u_1, u_2 $ выберите те, которые лежат в U, и найдите их выражение через найденный в пункте (a) базис.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Подпространство U ⊆ $ R^5 $ задано как линейная оболочка векторов $ v_1, v_2, v_3, v_4 $
(а) Выберите среди данных векторов базис подпространства U.
(б) Среди векторов $ u_1, u_2 $ выберите те, которые лежат в U, и найдите их выражение через найденный в пункте (a) базис.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Докажите, что векторы $ v_1, v_2, v_3 $ линейно независимы при всех значениях параметра a, и для каждого значения a дополните эти векторы до базисавсего пространства $ R^5 $
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Для матрицы найдите все значения x ∈ C, при которых матрица A − xE необратима.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Найдите коэффициент при $ x^5 $ в выражении определителя
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Вычислите определитель матрицы 7*7
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Определите чётность перестановки
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Решите уравнение относительно неизвестной перестановки X
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Даны матрицы A, B, C, D. Выясните, имеют ли системы $ ABC^{−1}x = 0 $ и Dx = 0, где x ∈ $ R^4 $ , одинаковое множество решений.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Дана матрица A. Найдите квадратную матрицу P, для которой матрица P A является улучшенным ступенчатым видом матрицы A, и выпишите этот вид.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Дана матрица A. Найдите все матрицы X удовлетворяющие условию AX = XA.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Определите число решений следующей системы в зависимости от значений параметров a и b
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Проверьте, что матрица S представима в виде $ S = uv^T $ для некоторых u, v ∈ $ R^3 $, и, пользуясь этим, найдите след матрицы $ S^{2013} $
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Матрица A представлена в виде A = CJD. Вычислите произведение DC и, пользуясь результатом, найдите матрицу $ S = E + A + . . . + A^{2021} $
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Квадратная матрица X называется симметрической, если $ X^T = X $ (то есть $ x_{ij} = x_{ji} $ для всех i, j), и кососимметрической, если $ X_T = −X $ (то есть $ x_{ij} = −x_{ji} $ для всех i, j). Определите все возможные значения, которые может принимать произведение AB симметрической матрицы A и кососимметрической матрицы B (обе порядка 4).
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Найти все комплексные числа, сопряженные своему квадрату
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Доказать, что сумма и произведение двух комплексных чисел являются вещественными тогда и только тогда, когда данные числа или сопряжены, или оба вещественными
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Вычислить определитель матрицы n - ого порядка
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Решить уравнение с комплексными числами
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Решить в поле $ Z_{17} $ систему уравнений
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Решить в поле $ Z_5 $ систему уравнений.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Вычислить определитель матрицы n-ого порядка приведением к треугольному виду.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Чему может быть равен определитель целочисленной матрицы А, если известно, что $ A^{-1}$ тоже целочисленная?
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Определитель матрицы 4 х 4 со строками $ а_1, a_2, a_3, a_4 $ равен 17. Чему равен определитель матрицы со строками $ 3a_1 - 3a_2 - 2a_3 - 5a_4, 2a_1 + 5а_2 + 4а_3 + 6a_4, 5а_1 + 5а_2 + 8а_3 + 7а_4, 4а_1 — 4a_2 + 5а_3 + 6а_4 $
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Определитель матрицы 4 х 4 со столбцами $ а_1, a_2, a_3, a_4 $ равен 5. Чему равен определитель матрицы со столбцами $ a_1 - a_2 + a_3 - 2a_4, a_1 + За_2 — а_3 + Зa_4, —а_1 — а_2 + 4а_3 + За_4, —За_1 — 8а_3 — 13а_4 $
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Как изменится определитель, если второй столбец заменить на (2*второй + З*третий), а третий столбец заменить на (З*второй - 5*третий)?
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Найдите число подстановок на п элементах, представимых в виде произведения(а) (i, j, k, l, m)(s,t) - независимых цикла длины 5 и транспозиции;(б) $ (i_1, i_2, i_3, i_4)(j_1, j_2, j_3, j_4),(k_1, k_2, k_3, k_4)$ - трёх независимых циклов длины 4
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Будет ли произведение двух симметричных квадратных матриц одного размера симметричной матрицей?
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Придумайте ненулевую матрицу А размера 2 х 2, для которой A * А = 0 (некоторые из её элементов могут быть равны нулю; главное, чтобы был хотя бы один отличный от пуля элемент).
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Докажите, что сумма двух симметричных матриц является симметричной.
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Матричная единица (не путайте с единичной матрицей!) - это матрица $ Е_{ij} $ , у которой на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит 1,
а все остальные элементы — нули. Чему равно произведение двух матричных единиц $ Е_{ij} $ и $ Е_{st} $?
Линейная алгебра и геометрия
|
|
Про порядки A и B известно, что A + B ∼= B + A. Верно ли, что тогда A ∼= B? (∼= обозначает изоморфизм порядков.)
Дискретная математика
|
|
В связном графе степени восьми вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4. Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности. Верно ли аналогичное утверждение для графов с 10 вершинами степени 3 (и произвольным количеством вершин степени 4)?
Дискретная математика
|
|
Найдите нестрогий порядок на четырёх элементах, в котором есть ровно три пары несравнимых элементов.
Дискретная математика
|
|
Всегда ли композиция отношений эквивалентности является отношением эквивалентности?
Дискретная математика
|
|
Пусть $ R_1, R_2 $ — такие отношения на множествах A и B, что $ R_1 ∪ R_2 $ является функцией. Докажите, что тогда и $ R_1 $ , и $ R_2 $ также являются функциями.
Дискретная математика
|
|
Бинарное отношению R ⊂ {a, b, c, d, e, f, g, h} × {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} состоит из пар {(a, 1),(b, 2),(c, 4),(d, 8),(e, 8),(f, 8),(g, 8),(h, 8)}.
Найдите количество элементов в отношениях $ R^T ◦ R $ и $ R ◦ R^T $
.
Дискретная математика
|
|
Рассмотрим на множестве R бинарное отношение R(x, y), означающее, что x/y > 0. Чему равно R ◦R?
Дискретная математика
|
|
Докажите, что если A ∪ B имеет мощность континуум, то A или B имеет мощность континуум. (Замечание. Никому неизвестно, существуют ли множества промежуточной мощности между счетными и континуальными.)
Дискретная математика
|
|
Углом на плоскости называется фигура, состоящая из точки и двух исходящих из неё лучей. Можно
ли расположить на плоскости континуум непересекающихся углов, таких чтобы никакие два из них не
имели одинаковую градусную меру?
Дискретная математика
|
|
Счётно ли множество бесконечных двоичных последовательностей $ b_0, b_1, . . . , b_n, $ . . . , в которых каждый отрезок нечётной длины $ b_i, b_{i+1}, . . . , b_{i+2k} $ содержит почти поровну нулей и единиц (модуль разности равен 1)?
Дискретная математика
|
|
Верно ли, что множество невозрастающих бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуум?
Дискретная математика
|
|
Докажите, что множество неубывающих бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуум.
Дискретная математика
|
|
Верно ли, что множество прямых на плоскости имеет мощность континуум?
Дискретная математика
|
|
Крестом называется фигура, состоящая из двух диагоналей квадрата. Докажите, что любое множество непересекающихся крестов на плоскости конечно или счётно.
Дискретная математика
|
|
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством бесконечных последовательностей из 0 и 1 и множеством бесконечных последовательностей из 0, 1, 2, 3.
Дискретная математика
|
|
Верно ли, что если $ A $ бесконечно, а $ B $ счётно, то $ A△B $ равномощно $ A $
Дискретная математика
|
|
Докажите, что множество конечных подмножеств рациональных чисел счётно.
Дискретная математика
|
|
Правильный n-угольник разбит диагоналями на треугольники (диагонали пересекаются разве что в вершинах многоугольника). Вершинами графа T∗ являются треугольники разбиения. Два треугольника связаны ребром в графе T∗, если у них есть общая сторона. Докажите, что T∗ — дерево.
Дискретная математика
|
|
В графе на n вершинах для любой пары вершин u и v есть ровно две вершины, с которыми соединены и u, и v. Докажите, что степени всех вершин в этом графе одинаковы.
Дискретная математика
|
|
О функциях f, g из множества A в себя (не обязательно всюду определённых) известно, что g◦f всюду определённая. Множество A состоит из 2021 элемента. Найдите минимально возможное количество элементов в образе f ◦ g(A).
Дискретная математика
|
|
О всюду определённых функциях f, g из множества A в себя известно, что f ◦ g ◦ f = $ id_A $. Верно ли, что f — биекция? (Множество A не обязательно конечное.)
Дискретная математика
|
|
О функциях f из множества A в множество B и g из множества B в множество C известно, что g ◦ f биекция. Верно ли, что g всюду определена? (Множества A, B, C не обязательно конечные.)
Дискретная математика
|
|
Функция f определена на множестве A ∪ B и принимает значения в множестве Y . Если заменить в утверждении f(A Δ B) ? f(A) Δ f(B) знак ? на один из знаков включения ⊆ или ⊇, получится утверждение. Какие из получившихся двухутверждений верны для любой f? Приведите доказательство или контрпример в каждом случае.
Дискретная математика
|
|
Функция f определена на множестве X и принимает значения в множестве Y , при этом A ∪ B ⊆ Xи f(A) = f(B). Верно ли, что при этих условиях $ f^{−1}(f(A)) = f^{−1}(f(B))$?Приведите доказательство или контрпример в каждом случае.
Дискретная математика
|
|
Про функцию f из множества X в множество Y и множество B ⊆ Y известно, что $ f^{-1}(B) = X $.
Верно ли, что B = Y ?
Дискретная математика
|
|
Докажите, что R(3, 4) = 9. (R(3, 4) — наименьшее из тех чисел n, что в любом графе на n вершинах есть либо клика размера 3, либо независимое множество размера 4.)
Дискретная математика
|
|
Вася составил список из всех 12-элементных подмножеств 26-элементного множества, каждое записал по одному разу. Петя добавляет по одному элементу в каждое множество списка. Докажите, что Петя может так выполнить добавления, чтобы среди полученных 13-элементных множеств не было
одинаковых.
Дискретная математика
|
|
В графе на 30 вершинах (необязательно двудольном) между любыми тремя вершинами есть хотябы два ребра. Докажите, что в графе есть совершенное паросочетание (из 15 рёбер).
Дискретная математика
|
|
На столе лежит 200 фишек: 100 красных, на которых написаны числа от 1 до 100, и 100 синих,на которых также написаны числа от 1 до 100. Враг забрал 99 фишек со стола (по своему усмотрению). Докажите, что на столе осталась пара из красной и синей фишек, сумма чисел на которых не меньше 101.
Дискретная математика
|
|
В графе 17 вершин. Они расставлены по кругу так, что каждое из 34 рёбер графа соединяет пару
соседних в расстановке вершин или пару вершин, между которыми есть ровно одна другая вершина.
Можно ли вершины этого графа правильно раскрасить в 3 цвета?
Дискретная математика
|
|
Докажите, что в дереве на 2n вершинах можно выбрать независимое множество из n вершин.
Дискретная математика
|
|
Граф G можно по крайней мере тремя различными способами правильно раскрасить в 2 цвета. Докажите, что G несвязный.
Дискретная математика
|
|
Граф $ K_6 $ состоит из 6 вершин, каждая пара которых соединена ребром. Найдите наименьшую длину
пути, проходящего по всем рёбрам этого графа. (напомним, что длина пути на 1 меньше количества
вершин.)
Дискретная математика
|
|
Таблица из 100 строк и 2 столбцов заполнена числами от 0 до 9 так, чтобы выполнялись условия:
(а) все строки таблицы различны; (б) ни одну строку в таблице нельзя получить из какой-нибудь вышестоящей строки заменами большего числа на меньшее. Докажите, что какая-то из строк таблицы равна
(5, 5). Какой по счёту может быть эта строка (начиная с верха)? Укажите все возможные значения и
докажите корректность приведенного ответа.
Дискретная математика
|
|
Пусть в ориентированном графе G исходящая степень каждой вершины равна входящей. Если стереть ориентацию на рёбрах, то получится связный неориентированный граф H. Докажите, что ориентированный граф G сильно связен.
Дискретная математика
|
|
Турниром называется такой ориентированный граф, в котором нет петель и для любых двух различных вершин x, y есть ровно одно ребро с концами x, y.
Докажите, что в любом турнире есть вершина, из которой достижима любая вершина турнира.
Дискретная математика
|
|
Известно, что в ориентированном графе на ⩾ 2 вершинах из любой вершины в любую другую идёт
ровно один простой путь. Верно ли, что исходящие степени вершин в этом графе равны 1?
Дискретная математика
|
|
Вершины ориентированного графа — целые числа от 0 до 9. Ребро идет из вершины x в вершину y
если y − x = 2 или x − y = 3. Найдите количество компонент сильной связности в этом графе.
Дискретная математика
|
|
В дереве на 2021 вершине нет простого пути длины 6. Докажите, что в этом дереве есть вершина степени не меньше 33.
Дискретная математика
|
|
В дереве нет вершин степени 2. Докажите, что количество висячих вершин (т.е. вершин степени 1)
больше половины общего количества вершин.
Дискретная математика
|
|
Дополнением G¯ графа G называется такой граф на том же множестве вершин, что и у графа G,в котором пара вершин связана ребром тогда и только тогда, когда в G эта пара вершин ребром н связана. Докажите, что если в графе больше 5 вершин, либо сам граф, либо его дополнение содержат цикл длины 3.
Дискретная математика
|
|
В связном графе степени всех вершин чётные. Докажите, что граф останется связным и после
удаления любого из рёбер.
Дискретная математика
|
|
В дереве на 13 вершинах есть ровно две вершины степени 6. Следует ли из этого, что в этом дереве есть вершина степени 2?
Дискретная математика
|
|
В связном графе на n вершинах нет мостов. Какое наименьшее количество рёбер может быть в таком графе?
Дискретная математика
|
|
Найдите наибольшее количество вершин в связном графе, сумма степеней вершин в котором равна 20.
Дискретная математика
|
|
Докажите, что в любом графе на 2n вершинах с $ n^2 + 1 $ ребром, n ⩾ 2, найдётся треугольник: три попарно смежные вершины.
Дискретная математика
|
|
Вершинами графа $ Q_{n,r} $ являются двоичные слова длины n, а соседями являются пары слов, отличающихся ровно в r позициях.Связен ли граф $ Q_{2021,47} $?
Дискретная математика
|
|
В графе 2n + 1 вершина, степень каждой равна n. Докажите, что после удаления любого подмножества из менее чем n рёбер получается связный граф.
Дискретная математика
|
|
Докажите, что при n ⩾ 1 связен любой граф на 2n + 1 вершине, степень каждой из которых не меньше n.
Дискретная математика
|
|
Вершинами графа $L_n$ являются отрезки координатной плоскости [(0, i); (n + 1, i)] и [(i, 0); (i, n + 1)](для целых i от 1 до n, всего 2n вершин), в квадратных скобках указаны координаты концов отрезка.Две вершины графа (то есть отрезки) соединены ребром тогда и только тогда, когда эти отрезкипересекаются. Найдите максимальный размер независимого множества в графе $ L_n $.
Дискретная математика
|
|
В стране Радуга есть 7 городов с официальными названиями Красный, Оранжевый, Жёлтый, Зелёный, Голубой, Синий, Фиолетовый. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если количество общих букв в названиях городов не меньше 3. (Количество вхождений букв несущественно, прописные и строчные не различаются, используются только официальные названия.) Можно ли добраться из города Красный в город Фиолетовый, используя эти авиалинии (возможно, с пересадками)?
Дискретная математика
|
|
Существует ли граф на 9 вершинах, степени которых равны 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 5, 6?
Дискретная математика
|
|
Найдите наименьшее количество вершин в графе, сумма степеней вершин в котором равна 24.
Дискретная математика
|
|
В ряд написано n чисел. Разрешается взять любой начальный отрезок ряда $ a_1, a_2, . . . , a_k $ и переставить его числа в обратном порядке: $ a_k, a_{k−1}, . . . , a_1 $ . Докажите, что возможно расставить числа в порядке возрастания после применения нескольких таких операций
Дискретная математика
|
|
Числа Фибоначчи задаются правилами $ F_{0} = 1; F_{1} = 1; F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} $ для всех n ⩾ 2.Докажите, что для любого k ⩾ 1 выполняется равенство $ F_{2k} - F_{2k - 1} + ... + F_{2} - F_{1} = F_{2k - 1}$
Дискретная математика
|
|
Для любого целого положительного n докажите равенство $ \mathbf{1}^\mathbf{3}{+\ \mathbf{2}}^{\mathbf{3}\ }+...+\mathbf{n}^\mathbf{3}=\left(\mathbf{1}+\mathbf{2}\ +\ ...\ +\ \mathbf{n}\right)^\mathbf{2} $
Дискретная математика
|
|
Пусть $ A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ A_{3} ⊇ · · · ⊇ A_{n} ⊇ . . . $ — невозрастающая последовательность множеств, а $ B_{1} ⊆ B_{2} ⊆B_{3} ⊆ · · · ⊆ B_{n} ⊆ . . . $ — неубывающая последовательность множеств. Известно, что $ A_1 \backslash B_1 = A_9 \backslash B_9 $.Докажите, что $ A_2 \backslash B_8 = A_5 \backslash B_5 $
Дискретная математика
|
|
Верно ли, что для любых множеств A, B и C
а) выполняется равенство (A \ B) ∩ (A ∪ B) \ (A ∩ B) = A \ B?
б) выполняется равенство (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)?
в) выполняется включение (A ∪ B) \ (A \ B) ⊆ B ?
г) выполняется равенство (A \ B) ∪ (A \ C) ∩ A \ (B ∩ C) = A \ (B ∪ C)?
Дискретная математика
|
|
Рассмотрим такие целые числа x, y, z, w, что$x^2 + y^2 + z^2 = w^2$.Обозначим через A высказывание «w чётное», через B — «все числа x, y, z чётные».Докажите, что A ≡ B.
Дискретная математика
|
|
Докажите, что $ n^{25} + n^{64} $ чётно для всех положительных целых n.
Дискретная математика
|
|
Докажите, что для любых неотрицательных действительных чисел a, b, n из a · b = n следует (a ⩽ √n) ∨ (b ⩽√n).
Дискретная математика
|
|
Запишите с помощью связок ¬, →, ∧, ∨ составное высказывание «истинны более половины высказываний A, B, C»
Дискретная математика
|
|
Выполняется ли дистрибутивность для импликации относительно импликации? Другими словами,равносильны ли высказывания A → (B → C) и (A → B) → (A → C)?
Дискретная математика
|
|
Выполняется ли дистрибутивность для конъюнкции относительно импликации? Другими словами, равносильны ли высказывания A ∧ (B → C) и (A ∧ B) → (A ∧ C)?
Дискретная математика
|
|
Ассоциативна ли импликация? Другими словами, равносильны ли высказывания A → (B → C) и(A → B) → C?
Дискретная математика
|
|
Докажите, что составное высказывание (A → B) ∨ (B → C) является тавтологией.
Дискретная математика
|
My<cod/>.net