О функциях f, g из множества A в себя (не обязательно всюду определённых) известно, что g◦f всюду определённая. Множество A состоит из 2021 элемента. Найдите минимально возможное количество элементов в образе f ◦ g(A).

Так как g ◦ f всюду определена, то и функция f всюду определена. Также заметим, что функция g обязана переводить хотя бы один элемент в другой, потому что иначе функция g ◦ f не будет определена ни при каких значениях множества A. Тогда в образе f ◦ g(A) должен быть хотя бы один элемент.
Пример:
Функция f переводит все 2021 элементов в первый. Функция g переводит 1–й элемент в 1–й, остальные не переводит никуда. Тогда g ◦ f определена на всех 2021 элементах и переводит их в 1–й. Композиция f ◦ g переводит только 1–й элемент в 1–й, то есть в образе этой композиции есть только один элемент.