Рассмотрим такие целые числа x, y, z, w, что$x^2 + y^2 + z^2 = w^2$.Обозначим через A высказывание «w чётное», через B — «все числа x, y, z чётные».Докажите, что A ≡ B.

Докажем утверждение, что w четно тогда и только тогда, когда все числа x, y, z четные.
1) Если x, y, z четные, то w – четно
Если x, y, z четные, тогда $ x^2, y^2, z^2$ дают остаток 0 при делении на 4. Так как $x^2, y^2, z^2 = w^2$, то и $ w^2 $ делится на 4. Тогда w дает остаток 0 или 2 при делении на 4, то есть w можно представить в виде:
w = 4k или w = 4k + 2. Получим, что w – четно.
2) Если w четно, то x, y, z четные.
Заметим, что квадраты целых чисел дают остаток 0 или 1 при делении на 4 (легко проверить перебором вариантов остатков по модулю 4 и их квадратов). Так как w четно, то w можно представить
в виде: w = 2k. Тогда $w^2 = 4k^2$, то есть $w^2$ делится на 4. Тогда и $x^2 + y^2 + z^2 $ делится на 4, то есть сумма этих квадратов дает остаток 0 по модулю 4. Получить остаток 0 можно только в том случае,
если все 3 квадрата дают остаток 0 по модулю 4 (в противном случае сумма квадратов даст остаток
1, 2 или 3). Получим, что $ x^2, y^2 \, \, и\, \, z^2 $ кратны 4, то есть x, y и z – четные числа.