Подпространство U ⊆ $ R^5 $ задано как линейная оболочка векторов $ v_1, v_2, v_3, v_4 $ (а) Выберите среди данных векторов базис подпространства U. (б) Среди векторов $ u_1, u_2 $ выберите те, которые лежат в U, и найдите их выражение через найденный в пункте (a) базис.

$
4) \, v_{1} = \left(
\begin{array}{c}
-1
\\
3
\\
2
\\
-2
\\
-1
\end{array}
\right)
\quad
\, v_{2} = \left(
\begin{array}{c}
2
\\
1
\\
2
\\
4
\\
4
\end{array}
\right)
\quad
\, v_{3} = \left(
\begin{array}{c}
-3
\\
2
\\
-1
\\
-4
\\
-5
\end{array}
\right)
\quad
\, v_{4} = \left(
\begin{array}{c}
11
\\
23
\\
25
\\
24
\\
27
\end{array}
\right)
\\\\\\
a)
\text{Склеиваем все векторы и получаем матрицу }
\left(
\begin{array}{ccccc}
-1 & 2 & -3 & 11
\\
3 & 1 & 2 & 23
\\
2 & 2 & -1 & 25
\\
-2 & 4 & -4 & 24
\\
-1 & 4 & -5 & 27
\end{array}
\right) => \text{УСВ: } \left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 4
\\
0 & 1 & 0 & 9
\\
0 & 0 & 1 & 1
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\\\\\\
\text{
Базисом подпрастанства яв-ся векторы } V_{1}, V_{2}, V_{3}, \text{так как в этих столбцах есть ведущие элементы.}
\\\\\\
\text{б ) Проверим, } u_{1} = \alpha_{1} * v_{1} + \alpha_{2} * v_{2} + \alpha_{3} * v_{3} , \quad \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}
\\\\
\left(
\begin{array}{ccc|c}
-1 & 2 & -3 & -7
\\
3 & 1 & 2 & -21
\\
2 & 2 & -1 & -19
\\
-2 & 4 & -4 & -20
\\
-1 & 4 & -5 & -19
\end{array}
\right) => \text{УСВ}: \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & -2
\\
0 & 1 & 0 & -9
\\
0 & 0 & 1 & -3
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
u_{1} \in U \text{ так как существует решение}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
\alpha_{1}
\\
\alpha_{2}
\\
\alpha_{3}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
-2
\\
-9
\\
-3
\end{array}
\right)
\\\\ => u_{1} = -2v_{1} - 9v_{2} - 3v_{3}
\\\\\\
\text{Проверим, } u_{2}
\\\\
\left(
\begin{array}{ccc|c}
-1 & 2 & -3 & 0
\\
3 & 1 & 2 & -3
\\
2 & 2 & -1 & -3
\\
-2 & 4 & -4 & -1
\\
-1 & 4 & -5 & -2
\end{array}
\right) => \text{УСВ}: \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
u_{2} \notin U \text{ так как СЛУ несовместна}
$