Функция f определена на множестве A ∪ B и принимает значения в множестве Y . Если заменить в утверждении f(A Δ B) ? f(A) Δ f(B) знак ? на один из знаков включения ⊆ или ⊇, получится утверждение. Какие из получившихся двухутверждений верны для любой f? Приведите доказательство или контрпример в каждом случае.

Ответ: $ f\left(A\mathrm{\Delta B}\right)\supseteq f\left(A\right)\ \mathrm{\Delta}\ f\left(B\right) $
Рассмотрим несколько случаев:
1.$ x\in A\cap B $
Тогда и в правой, и в левой части получим пустое множество.
2. $ x\in A\ \backslash B $
Понятно, что $ f\left(x\right)\in f\left(A\right)\ \ и f\left(x\right)\ \in f\left(A\mathrm{\Delta B}\right) $
Но $ f(x) ∈f(B) $ или $ f(x)∉f(B) $.Но в любом случае мы получим $ f(AΔB)⊇f(A) Δ f(B) $
3. $ x\in B\ \backslash A $
Понятно, что $ f\left(x\right)\in f\left(B\right)\ \ и f\left(x\right)\ \in f\left(A\mathrm{\Delta B}\right) $
Но $ f(x)∈f(A) $ или $ f(x) ∉f(A) $ .Но в любом случае мы получим $ f(AΔB)⊇f(A) Δ f(B) $
$ f\left(A\mathrm{\Delta B}\right)={A,B,E,D} $
$ f\left(A\right)\ \mathrm{\Delta}\ f\left(B\right)\ =\ {A,\ B,\ C}\ \mathrm{\Delta}\ {A,\ C,\ E,\ D}\ =\ {B,\ E,\ D}\ $
Таким образом получаем, что $ f\left(A\right)\ \mathrm{\Delta}\ f\left(B\right)\ \subseteq\ f\left(A\mathrm{\Delta B}\right) $