В ряд написано n чисел. Разрешается взять любой начальный отрезок ряда $ a_1, a_2, . . . , a_k $ и переставить его числа в обратном порядке: $ a_k, a_{k−1}, . . . , a_1 $ . Докажите, что возможно расставить числа в порядке возрастания после применения нескольких таких операций

Докажем утверждение индукцией по n.
База n = 1 очевидна
Переход от n = k к n = k + 1:
По предположению индукции мы можем расставить числа по возрастанию в любом ряду из k чисел.
Рассмотрим ряд из k + 1 числа. Пусть $ a_m $ – наибольшее число в этом ряду. Тогда сначала развернем отрезок $ a_1, a_2, . . . , a_m,$ получим ряд $ a_m, a_{m−1}, . . . a_1, a_{m+1}, . . . a_{k+1}.$ Затем развернем весь этот ряд, получим ряд $ a_{k+1}, . . . , a_{m+1}, a_1, . . . , a_m $, где $a_m $ – наибольшее число. Теперь применим предположение индкуции к ряду $ a_{k+1}, . . . , a_{m+1}, a_{1}, . . . , a_{m−1} $ , состоящему из k чисел. По предположению индукции мы можем расставить числа в этом ряду по возрастанию, в конечном итоге получим ряд из k + 1 чисел, в конце которого стоит $ a_m $, а все остальные числа расставлены по возрастанию. Так как $ a_m $ – наибольшее число, то тогда и весь ряд из k + 1 числа будет расставлен по возрастанию.