Докажите, что если A ∪ B имеет мощность континуум, то A или B имеет мощность континуум. (Замечание. Никому неизвестно, существуют ли множества промежуточной мощности между счетными и континуальными.)

Рассмотрим плоскость $ R^2 $ , которая имеет мощность континуум (идея с семинара) и является объединением двух каких-то множеств A и B. Она состоит из объединения всех прямых вида x = a, a ∈ R. Если какая-либо прямая x = $ a_0 $ ∈ A, то A имеет мощность континуум – победа. Предположим, что нет такой прямой, которая принадлежит множеству A. Тогда на каждой прямой вида x = a есть хотя бы одна точка, которая принадлежит множеству B. Тогда во множестве B есть хотя бы континуум точек, так как всего прямых вида x = a – континуум. Тогда множество B имеет мощность континуум.