Докажите, что векторы $ v_1, v_2, v_3 $ линейно независимы при всех значениях параметра a, и для каждого значения a дополните эти векторы до базисавсего пространства $ R^5 $

$
v_{1} = \left(
\begin{array}{c}
-8
\\
-3
\\
0
\\
-1
\\
1
\end{array}
\right)
\quad
\, v_{2} = \left(
\begin{array}{c}
72
\\
30
\\
5
\\
9
\\
-12
\end{array}
\right)
\quad
\, v_{3} = \left(
\begin{array}{c}
-16
\\
0
\\
10
\\
a
\\
-12
\end{array}
\right)
\\\\\\
\text{Склеиваем все векторы и получаем матрицу }
A = \left(
\begin{array}{ccc}
-8 & -72 & -16
\\
-3 & 30 & -3
\\
0 & 5 & 10
\\
-1 & 9 & a
\\
1 & -12 & -12
\end{array}
\right)
\\\\
\text{Нам нужно выполнить элементарные преобразования по столбцам. Для этого транспонируем матрицу и выполним} \\ \text{ элементарные преобразования по строкам} \\\\
A^T =
\left(
\begin{array}{ccccc}
-8 & -3 & 0 & -1 & 1
\\
-72 & 30 & 5 & 9 & -12
\\
-16 & -3 & 10 & a & -12
\end{array}
\right) (1) * \frac{-1}{8}; (2) * \frac{1}{3} =>
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 1
\\
9 & 10 & 5 & 9 & -12
\\
2 & -1 & 10 & a & -12
\end{array}
\right) \\\\\\
=>
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 1
\\
0 & 19 & 5 & 18 & -21
\\
0 & 1 & 10 & a + 2 & -14
\end{array}
\right) (2) - 4 * (3); (2) * (-1)
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 1
\\
0 & 1 & -5 & -18 & 21
\\
0 & -39 & 10 & a + 2 & -14
\end{array}
\right)
=> \\\\\\
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 1
\\
0 & 1 & -5 & -18 & 21
\\
0 & 0 & 185 & a - 700 & 805
\end{array}
\right)
=>
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 1
\\
0 & 1 & -5 & -18 & 21
\\
0 & 0 & 0 & a + 326 & -392
\end{array}
\right)
\\\\\\
A =
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0
\\
-1 & 1 & 0
\\
0 & -5 & 0
\\
-1 & -18 & a + 326
\\
1 & 21 & -392
\end{array}
\right)
\\\\
\text{Если в качестве а взять любое число, то мы не получим вектор столбец или вектор строку из нулей, а значит} \\ \text{векторы всегда линейно независимы. }
\\\\
\text{При a + 326 = 0 базис пространства } \mathbb{R}^5
\left(
\begin{array}{cccccc}
1
\\
-1
\\
0
\\
-1
\\
1
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccccc}
0
\\
1
\\
-5
\\
-18
\\
21
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccccc}
0
\\
0
\\
0
\\
0
\\
-392
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccccc}
0
\\
0
\\
0
\\
1
\\
0
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccccc}
0
\\
0
\\
1
\\
0
\\
0
\end{array}
\right)
\\\\\\
\text{При a } \neq \text{ -326 базис пространства } \mathbb{R}^5
\left(
\begin{array}{cccccc}
1
\\
-1
\\
0
\\
-1
\\
1
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccccc}
0
\\
1
\\
-5
\\
-18
\\
21
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccccc}
0
\\
0
\\
0
\\
a + 326
\\
-392
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccccc}
0
\\
0
\\
0
\\
0
\\
1
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccccc}
0
\\
0
\\
1
\\
0
\\
0
\end{array}
\right)
$