Проверьте, что матрица S представима в виде $ S = uv^T $ для некоторых u, v ∈ $ R^3 $, и, пользуясь этим, найдите след матрицы $ S^{2013} $

$ S \ =\ \left(\begin{matrix}\mathbf{20}&\mathbf{4}&\mathbf{16}\\-\mathbf{10}&-\mathbf{2}&-\mathbf{8}\\-\mathbf{15}&-\mathbf{3}&-\mathbf{12}\\\end{matrix}\right)\ \ =\ \ {u}{v}^{T}\ \ \ \ \ \ {u}\ =\ (a_1, a_2, a_3) v = (b_1, b_2, b_3) v^T = (b_1, b_2, b_3) $

$ S\ =\ uv^T\ =\ \ \left(\begin{matrix}a_1\ \ast\ b_1&a_1\ \ast\ b_2&a_1\ \ast\ b_3\\a_2\ \ast\ b_1&a_2\ \ast\ b_2&a_2\ \ast\ b_3\\a_3\ \ast\ b_1&a_3\ \ast\ b_2&a_3\ \ast\ b_3\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v^Tu\ =\ b_1a_1\ +\ \ b_2a_2\ +\ b_3a_3\ \ $

$ S^{2013}\ =\ uv^T\ uv^T\ uv^T\ ....\ \ uv^T\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2013\ $ раз

Заметим, что $ v^Tu\ =\ tr(S)$. Получим $u{\ \ast\ {tr(S)}^{2012}\ \ast\ \ v}^{T\ =\ }{tr(S)}^{2012}\ \ast\ u{\ \ast\ v}^{T\ =\ }{tr(S)}^{2012}\ \ast\ S=\ {tr(S)}^{2013}$

$ tr(S)\ =\ 6\ \ \ \ \ \ \ =>\ {tr(S)}^{2013}\ =\ 6^{2013}\ $