Крестом называется фигура, состоящая из двух диагоналей квадрата. Докажите, что любое множество непересекающихся крестов на плоскости конечно или счётно.

Допустим, мы смогли расположить континуум крестов на координатной плоскости. У каждого креста соединим точки так, чтобы получился квадрат с диагоналями. У каждого квадрата выберем два треугольника, на которые их разбивают диагонали, не имеющие общей стороны. Понятно, что в каждом из треугольников есть точка с рациональными координатами (можем выбрать пересечение двух прямых, параллельных осям, с рациональными координатами). Тогда, сопоставим кресту пару точек, таких, что каждая точка имеет рациональные координаты, и точки принадлежат разным выбранным треугольникам.
Пусть у каких-то крестов пара точек совпали. Тогда, есть одна точка принадлежит внутренним треугольникам обоих крестов, и другая. В таком случае кресты будут пересекаться. Противоречие, значит, у всех крестов пары точек разные.
Мы знаем, что пар рациональных чисел счетное число. Тогда, пары крестов - это подмножество пар рациональных чисел, то есть их не более чем счетно.