Будет ли произведение двух симметричных квадратных матриц одного размера симметричной матрицей?

Ответ: Нет.
Контрпример:

$ \left(\begin{matrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ \ast\ \left(\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right) =\ \ \left(\begin{matrix}2&2&2\\2&2&2\\1&1&1\\\end{matrix}\right) $

$
\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right)\ \ast\ \left(\begin{matrix}1&2\\2&0\\\end{matrix}\right)\ =\ \left(\begin{matrix}1\ \ast\ 1\ +\ 2\ \ast\ 2&1\ \ast\ 2\ +\ 2\ \ast\ 0\\2\ \ast\ 1\ +\ 3\ \ast\ 2&2\ \ast\ 2\ +\ 3\ \ast\ 0\\\end{matrix}\right)\ =\ \ \ \left(\begin{matrix}5&2\\4&4\\\end{matrix}\right)
$