Турниром называется такой ориентированный граф, в котором нет петель и для любых двух различных вершин x, y есть ровно одно ребро с концами x, y. Докажите, что в любом турнире есть вершина, из которой достижима любая вершина турнира.

Рассмотрим вершину, из которой выходит наибольшее количество ребер (она может быть не одна).
Пусть это вершина A. Теперь докажем, что из нее можно попасть в любую другую вершину.
Очевидно, можно добраться до любой вершины, в которую приходит ребро, исходящее из вершины A. Назовем множество этих вершин S
Рассмотрим вершину B такую, что ребро из вершины B ведет в A. Докажем, что в эту вершину B ведет ребро из по
крайней мере одной вершины из множества S. Предположим, что это не так. Тогда в каждую вершину из множества
S ведет ребро из B и ребро из вершины B ведет в A. Но тогда из вершины B выходит хотя бы на одно ребро больше, чем из A, что противоречит условию, что из вершины A выходит наибольшее число ребер. Тогда найдется вершина C такая, что есть ребро из A в C и ребро из C в B. Тогда из A можно добраться в B через C =⇒ из вершины A можно попасть в любую другую.