Квадратная матрица X называется симметрической, если $ X^T = X $ (то есть $ x_{ij} = x_{ji} $ для всех i, j), и кососимметрической, если $ X_T = −X $ (то есть $ x_{ij} = −x_{ji} $ для всех i, j). Определите все возможные значения, которые может принимать произведение AB симметрической матрицы A и кососимметрической матрицы B (обе порядка 4).

Также известно, что $ A\ +B\ =\ \left(\begin{matrix}-54&-20&38&22\\-50&-8&-44&-22\\20&36&30&-18\\38&42&-40&-6\\\end{matrix}\right) $

$ A =\ \left(\begin{matrix}\mathbf{a}_\mathbf{1}&\mathbf{a}_\mathbf{2}&\mathbf{a}_\mathbf{3}&\mathbf{a}_\mathbf{4}\\\mathbf{a}_\mathbf{2}&\mathbf{a}_\mathbf{5}&\mathbf{a}_\mathbf{6}&\mathbf{a}_\mathbf{7}\\\mathbf{a}_\mathbf{3}&\mathbf{a}_\mathbf{6}&\mathbf{a}_\mathbf{8}&\mathbf{a}_\mathbf{9}\\\mathbf{a}_\mathbf{4}&\mathbf{a}_\mathbf{7}&\mathbf{a}_\mathbf{9}&\mathbf{a}_{\mathbf{10}}\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B =\ \left(\begin{matrix}\mathbf{0}&\mathbf{b}_\mathbf{1}&\mathbf{b}_\mathbf{2}&\mathbf{b}_\mathbf{3}\\-\mathbf{b}_\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{b}_\mathbf{4}&\mathbf{b}_\mathbf{5}\\-\mathbf{b}_\mathbf{2}&-\mathbf{b}_\mathbf{4}&\mathbf{0}&\mathbf{b}_\mathbf{6}\\-\mathbf{b}_\mathbf{3}&-\mathbf{b}_\mathbf{5}&-\mathbf{b}_\mathbf{6}&\mathbf{0}\\\end{matrix}\right)\ $

$ \ S=\ A\ +B\ =\ \left(\begin{matrix}-54&-20&38&22\\-50&-8&-44&-22\\20&36&30&-18\\38&42&-40&-6\\\end{matrix}\right)\ \ =\ \ \left(\begin{matrix}a_1&a_2\ +\ b_1&a_3\ +\ b_2&a_4\ +\ 3\\a_2\ -\ b_1&a_5&a_6\ +\ b_4&a_7\ +\ b_5\\a_3\ -\ b_2&a_6\ -\ b_4&a_8&a_9\ +\ b_6\\a_4\ -\ 3&a_7\ -\ b_5&a_9\ -\ b_6&a_{10}\\\end{matrix}\right)\ $

$ S^T=\ A\ -\ B\ =\ \left(\begin{matrix}-54&-50&20&38\\-20&-8&36&42\\38&-44&30&-40\\22&-22&-18&-6\\\end{matrix}\right)\ \ =\ \ \left(\begin{matrix}a_1&a_2\ -\ b_1&a_3\ -\ b_2&a_4\ -\ 3\\a_2\ +\ b_1&a_5&a_6\ -\ b_4&a_7\ -\ b_5\\a_3\ +\ b_2&a_6\ +\ b_4&a_8&a_9\ -\ b_6\\a_4\ +\ 3&a_7\ +\ b_5&a_9\ +\ b_6&a_{10}\\\end{matrix}\right) $


$ A\ +\ B\ =\ S $ $ A\ – B = ST $

Сложим первое и второе уравнение. Получим $ 2A=\ S\ +\ S^T $
Вычитаем из первого уравнение второе. Получим $ 2B\ =\ S\ \ -\ S^T $

$ 2A\ =\ S\ +\ S^T\ =\ \left(\begin{matrix}-108&-70&58&60\\-70&-16&-8&20\\58&-8&60&-58\\60&20&-58&-12\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ ==>\ \ \ A\ =\ \ \left(\begin{matrix}-54&-35&29&30\\-35&-8&-4&10\\29&-4&30&-29\\30&10&-29&-6\\\end{matrix}\right) $

$ 2B\ =\ S\ \ -\ S^T\ =\ \left(\begin{matrix}0&30&18&-16\\-30&0&-80&-64\\-18&80&0&22\\16&64&-22&0\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ==>\ \ \ \ B\ =\ \left(\begin{matrix}0&15&9&-8\\-15&0&-40&-32\\-9&40&0&11\\8&32&-11&0\\\end{matrix}\right)\ $