Матрица A представлена в виде A = CJD. Вычислите произведение DC и, пользуясь результатом, найдите матрицу $ S = E + A + . . . + A^{2021} $

Также известно, что $ C\ =\ \left(\begin{matrix}1&9&-5\\0&1&8\\0&0&1\\\end{matrix}\right) J=\ \left(\begin{matrix}-\mathbf{1}&\mathbf{1}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&-\mathbf{1}&\mathbf{1}\\\mathbf{0}&\mathbf{0}&-\mathbf{1}\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D =\ \left(\begin{matrix}\mathbf{1}&-\mathbf{9}&\mathbf{77}\\\mathbf{0}&\mathbf{1}&-\mathbf{8}\\\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{1}\\\end{matrix}\right) $


$ DC\ =\ \ \left(\begin{matrix}1&-9&77\\0&1&-8\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ \ \left(\begin{matrix}1&9&-5\\0&1&8\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ =\ \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right) $

$ S\ \ =\ E\ +\ A\ +\ A^{2\ }\ +\ \ ..\ +\ A^{2021}\ =\ \ E\ +\ CJD\ +\ CJDCJD\ +\ CJDCJDCJD\ +\ ...\ +\ (CJD)\ \ast\ 2021\ $ раз

Заметим, что DC = E, получаем $ S=E+CJD+CJJD+CJJJD+\ldots+C * J*J*J*J* $ итак 2021 раз * D =
$ E\ +\ C\ \ \ast\ (\ T\ )\ \ast\ \ D\ ,\ \ \ $ где $ T = J + JJ + JJJ + JJJJ + ... $ (2021 раз J)


$ J=\ \left(\begin{matrix}-1&1&0\\0&-1&1\\0&0&-1\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ J^2=\ \left(\begin{matrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ J^3=\ \left(\begin{matrix}-1&3&-3\\0&-1&3\\0&0&-1\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ J^4=\ \left(\begin{matrix}1&-4&6\\0&1&-4\\0&0&1\\\end{matrix}\right) $


Получаем, что $ \ J^n={(-1)}^n\ \left(\begin{matrix}1&-n&\frac{n(n\ -\ 1)}{2}\\0&1&-n\\0&0&1\\\end{matrix}\right) $
Докажем формулу по индукции:

При n = 1

$ J^1={(-1)}^1\ \left(\begin{matrix}1&-1&\frac{1\ \ast\ 0}{2}\\0&1&-1\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ \ =\ \left(\begin{matrix}-1&1&0\\0&-1&1\\0&0&-1\\\end{matrix}\right) $
Предположим, что формула для матрицы работает для всех чисел от 1 до n. Переход: n = n + 1

$ J^{n\ +\ 1}={(-1)}^{n\ +\ 1}\ \left(\begin{matrix}1&-(n\ +\ 1)&\frac{(n\ +\ 1)(n)}{2}\\0&1&-(n\ +\ 1)\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ J^{n\ +\ 1}\ =\ J^{n\ }\ \ast\ J\ \ $


$ {(-1)}^n\ \left(\begin{matrix}1&-n&\frac{n(n\ -\ 1)}{2}\\0&1&-n\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ \ast\ \left(\begin{matrix}-1&1&0\\0&-1&1\\0&0&-1\\\end{matrix}\right)\ =\ \ {(-1)}^{n\ +\ 1}\ \left(\begin{matrix}1&-(n\ +\ 1)&\frac{(n\ +\ 1)(n)}{2}\\0&1&-(n\ +\ 1)\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ $



$ {(-1)}^n\ \left(\begin{matrix}-1&n\ +\ 1&-n-\ \frac{n(n\ -\ 1)}{2}\\0&-1&n\ +\ 1\\0&0&-1\\\end{matrix}\right)\ \ =\ {(-1)}^{n\ +\ 1}\ \left(\begin{matrix}1&-(n\ +\ 1)&\frac{(n\ +\ 1)(n)}{2}\\0&1&-(n\ +\ 1)\\0&0&1\\\end{matrix}\right) $


$ {(-1)}^n\ \left(\begin{matrix}-1&n\ +\ 1&-\frac{(n\ +\ 1)(n)}{2}\\0&-1&n\ +\ 1\\0&0&-1\\\end{matrix}\right)\ =\ {(-1)}^{n\ +\ 1}\ \left(\begin{matrix}1&-(n\ +\ 1)&\frac{(n\ +\ 1)(n)}{2}\\0&1&-(n\ +\ 1)\\0&0&1\\\end{matrix}\right) $

$ {(-1)}^{n\ +\ 1}\ \left(\begin{matrix}1&-(n\ +\ 1)&\frac{(n\ +\ 1)(n)}{2}\\0&1&-(n\ +\ 1)\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ =\ {(-1)}^{n\ +\ 1}\ \left(\begin{matrix}1&-(n\ +\ 1)&\frac{(n\ +\ 1)(n)}{2}\\0&1&-(n\ +\ 1)\\0&0&1\\\end{matrix}\right) $

Мы доказали формулу, теперь нужно найти T

Очевидно, что $ T_{1,1}\ =\ -1\ \ \ \ T_{2,2}\ =\ -1\ \ \ T_{3,3}\ =\ -1\ \ $ т.к как 2021 нечетно и T2,1 = 0 T3,1 = 0 T2,1 = 0

Остается найти $ T_{1,2}\ \ =\ T_{2,3}\ \ \ \ \ \ $ и $ T3,3 $

$ T_{1,2}=T_{2,3}=1+3+5+\ldots+2021-\left(2+4+6+\ldots+2020\right)\ =\

\ =\ \ \frac{1\ +\ 2021}{2}\ \ \ast\ 1011\ \ -\ \frac{2\ +\ 2020}{2}\ \ \ast\ 1010\ =\ 1011 $

$ T_{3,3}\ \ =\ 0 + 1 + (-3) + 6 + (-10) + 15 - ….$ продолжаем пока не будет 2021 слагаемых = $ 1 + 3 + 5 + … + 2019 - {(-1)}^{2021\ }\ \ast\ \frac{2021\ \ast\ 2020\ }{2}\ \ =\ \ -1021110 $

Таким образом, $ T\ =\ \ \left(\begin{matrix}-1&1011&-1021110\\0&-1&1011\\0&0&-1\\\end{matrix}\right)

S\ =\ E\ +\ C\ \ \ast\ (\ T\ )\ \ast\ \ D $

$ S\ =\ \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ +\ \left(\begin{matrix}1&9&-5\\0&1&8\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ \ \ast\left(\begin{matrix}-1&1011&-1021110\\0&-1&1011\\0&0&-1\\\end{matrix}\right)\ \ast\ \ \left(\begin{matrix}1&-9&77\\0&1&-8\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\

\ =\ \left(\begin{matrix}0&1011&-1020099\\0&0&1011\\0&0&0\\\end{matrix}\right)\ $