Пусть $ A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ A_{3} ⊇ · · · ⊇ A_{n} ⊇ . . . $ — невозрастающая последовательность множеств, а $ B_{1} ⊆ B_{2} ⊆B_{3} ⊆ · · · ⊆ B_{n} ⊆ . . . $ — неубывающая последовательность множеств. Известно, что $ A_1 \backslash B_1 = A_9 \backslash B_9 $.Докажите, что $ A_2 \backslash B_8 = A_5 \backslash B_5 $

Для удобства обозначения пусть $ A_{i} $ означает $ x ∈ A_{i} $, аналогично с В
$ A_1 \backslash B_1 = A_9 \backslash B_9 ⇔ A_1 ∧ ¬B_1 ≡ A_9 ∧ ¬B_9 $. Рассмотрим таблицу истинности решений уравнения
$ A_1 ∧ ¬B_1 ≡ A_9 ∧ ¬B_9: $
A_1 B_1 A_9 B_9 $
1 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
Заметим, что если $ A_9 = 1, то A_1, A_2 и A_5 $ тоже равны 1
Если $ A_1 = 0 $, то $ A_9, A_2 $ и $ A_5 $ тоже равны 0
Если $ B_1 = 1 $, то $ B_9, B_5 $ и $ B_8 $ тоже равны 1
Если $ B_9 = 0 $, то $ B_1, B_5 $ и $ B_8 $ тоже равны 0
Тогда остаются только варианты:
$ A_1 B_1 A_9 B_9 $
1 0 1 0 (1)
0 0 0 0 (2)
0 0 0 1 (3)
0 1 0 1 (4)
1 1 0 1 (5)
1 1 1 1 (6)
Теперь рассмотрим решение уравнения $A_2 ∧ ¬B_8 ≡ A_5 ∧ ¬B_ 5 $, учитывая решение первого уравнения.
(1) $ A_9 = 1 $, тогда $ A_2 = 1, A_5 = 1 $. $ B_1 = 0 $, тогда $ B_5 = 0, B_8 = 0 $
Тогда $ A_2 ∧ ¬B_8 ≡ 1 ≡ A_5 ∧ ¬B_5 $ – верно
(2)–(4) $ A_1 = 0 $, тогда $A_2 = 0, A_5 = 0 $. Тогда $A_2 ∧ ¬B_8 ≡ 0 ≡ A_5 ∧ ¬B_5 $ – верно
(5)–(6)$ B_1 = 1 $, тогда $B_5 = 1, B_8 = 1. Тогда A_2 ∧ ¬B_8 ≡ 0 ≡ A_5 ∧ ¬B_5 $ – верно
Получим, что при всех решениях первого уравнения второе уравнение истинно.