Всегда ли композиция отношений эквивалентности является отношением эквивалентности?

Ответ: Нет
Возьмем два множества с отношением эквивалентности.
$ R_1={\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(2,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right)} $
$ R_2={\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(2,3\right),\left(3,2\right),\left(3,3\right)} $
Построим матрицы отношения $ R_1\ $ и $ R_2 $ :
$ R_1\ =\ \left(\begin{matrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\ $ и $ R_2\ =\ \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\\\end{matrix}\right) $
$ {\ \ R}_2\ \circ\ R_1 \ =\ {(1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (1,\ 3),\ (2,\ 1),\ (2,\ 2),\ (2,\ 3),\ (3,\ 2),\ (3,\ 3)} $
Построим матрицу для композиции
$$ {\ \ R}_2\ \circ\ R_1\ =\ \left(\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\0&1&1\\\end{matrix}\right) $$
Заметим, что матрица не симметрична, а значит и нет отношения эквивалентности. Доказано