Для любого целого положительного n докажите равенство $ \mathbf{1}^\mathbf{3}{+\ \mathbf{2}}^{\mathbf{3}\ }+...+\mathbf{n}^\mathbf{3}=\left(\mathbf{1}+\mathbf{2}\ +\ ...\ +\ \mathbf{n}\right)^\mathbf{2} $

Докажем по индукции:

База $ n = 1: 1^3\ =\ 1^2\ \ \ 1\ =\ 1 $
Переход:
$ 1^3{+\ 2}^{3\ }+...+n^3+\ {(n\ +\ 1)}^3=\left(1+2\ +\ ...\ +\ n\ +\ n+\ 1\right)^2 $
$ \left(1+2\ +\ ...\ +\ n\right)^2\ +\ {(n\ +\ 1)}^3=\left(1+2\ +\ ...\ +\ n\ +\ n+\ 1\right)^2 $
$ 1+2\ +\ ...\ +\ n\ =\ b $
$ b^2\ +\ {(n\ +\ 1)}^3\ =\ \left(b\ +\ n+\ 1\right)^2\ $
$ b^2\ +\ \ n^3+\ {3n}^2+\ 3n\ +\ 1=\ b^2\ +\ 2bn\ +\ 2b\ +\ n^2\ +\ 2n\ +\ 1\ $
$ n^3+\ {2n}^2+\ n\ =\ 2bn\ +\ 2b\ $
$ n\left(n+1\right)\left(n+1\right)=2b\left(n+1\right) $
$ n(n\ +\ 1)=\ 2b $
$ \frac{n\left(n+1\right)}{2}=b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{n\left(n+1\right)}{2}=1\ +\ 2+\ ...+\ n $