Решить в поле $ Z_5 $ систему уравнений.

$
\begin{cases}
2x + y + 4z = 1 \\
x + 2y + z = 2 \\
x + y + 4z = 4
\end{cases}
\\\\\\
$
Запишем все коэффициенты и приведем к ступенчатому виду
$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 4 & 1
\\
1 & 2 & 1 & 2
\\
1 & 1 & 4 & 4
\end{array}
\right)
(1) = (1) / 2 =>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -3 & -2
\\
1 & 2 & 1 & 2
\\
1 & 1 & 4 & 4
\end{array}
\right)
(2) = (2) - (1); (3) = (3) - (1) =>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -3 & -2
\\
0 & 4 & 4 & 4
\\
0 & 4 & 3 & 2
\end{array}
\right)
\\\\\\
(2) = (2) / 4 =>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -3 & -2
\\
0 & 1 & 1 & 1
\\
0 & 4 & 3 & 2
\end{array}
\right)
(3) = (3) - 4 * (2) =>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -3 & -2
\\
0 & 1 & 1 & 1
\\
0 & 0 & 4 & 3
\end{array}
\right)
(3) = (3) / 4 =>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -3 & -2
\\
0 & 1 & 1 & 1
\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\\\\\\
(2) = (2) - (3) =>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -3 & -2
\\
0 & 1 & 0 & 4
\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
(1) = (1) + 3 * (3) =>
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 0 & 4
\\
0 & 1 & 0 & 4
\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
(1) = (1) + 2 * (2)
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2
\\
0 & 1 & 0 & 4
\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\\\\\\
\text{Ответ: x = 2, y = 4, y = 2}
$