Верно ли, что множество невозрастающих бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуум?

Докажем, что множество A таких бесконечных невозрастающих последовательностей натуральных
чисел счетно.
Для начала докажем, что их хотя бы счетно. Каждому натуральному числу n ∈ N сопоставим бесконечную последовательность n, n, n, . . . , в которой все члены равны n. Такие последовательности
не возрастают, то есть содержатся в множестве A. Тогда множество A хотя бы счетно.
С другой стороны, в каждой последовательности из A с какого-то момента будут идти одни и те
же числа. Это будет либо единица, так как нет натурального меньше единицы (можно и 0, смотря
как обозначить натуральные), либо другое натуральное число, меньше которого не найдется. Тогда
пусть последовательность an имела вид $ a_1 $$ a_2 $$ a_3 $ . . . $ a_k $$ a_{k + 1} $ . . . , где начиная с $ a_{k + 1} $ идет одно и то же число. Тогда сопоставим каждой такой последовательности конечную последовательность натуральных
чисел $ a_1 $$ a_2 $$ a_3 $ . . . $ a_k $$ a_{k + 1} $. Получим, что каждой последовательности множества A будет сопоставлена
одна конечная последовательность натуральных чисел.
Теперь докажем, что множество конечных последовательностей натуральных чисел счетно. Действительно, рассмотрев множества длины 1, 2, 3 и так далее, получим, что любое множество последовательностей натуральных чисел длины n счетно, тогда их объединение тоже счетно.
Таким образом, множество A не более, чем счетно, но с другой стороны не менее, чем счетно. Тогда
по теореме Кантора–Берштейна получим, что множество всех бесконечных невозрастающих последовательностей натуральных чисел счетно.