Решение линейного уравнения

Правило Крамера и Исключение Гаусса - это два хороших алгоритма общего назначения (см. Также одновременные линейные уравнения ). Если вы ищете код , проверьте GiNaC , Maxima и SymbolicC++ (в зависимости от ваших лицензионных требований, конечно).

EDIT: я знаю, что вы работаете в стране C, но я также должен замолвить словечко за SymPy (система компьютерной алгебры в Python). Вы можете многому научиться из его алгоритмов (если вы можете прочитать немного python). Кроме того, он находится под новой лицензией BSD, в то время как большинство бесплатных математических пакетов-это GPL.

Вы можете решить эту задачу с помощью программы точно так же, как вы решаете ее вручную (с умножением и вычитанием, а затем возвращаете результаты обратно в уравнения). Это довольно стандартная математика secondary-school-level.

-44.3940 = 50a + 37b + c (A)
-45.3049 = 43a + 39b + c (B)
-44.9594 = 52a + 41b + c (C)

(A-B): 0.9109 =  7a -  2b (D)
(B-C): 0.3455 = -9a -  2b (E)

(D-E): 1.2564 = 16a (F)

(F/16):  a = 0.078525 (G)

Feed G into D:
       0.9109 = 7a - 2b
    => 0.9109 = 0.549675 - 2b (substitute a)
    => 0.361225 = -2b (subtract 0.549675 from both sides)
    => -0.1806125 = b (divide both sides by -2) (H)

Feed H/G into A:
       -44.3940 = 50a + 37b + c
    => -44.3940 = 3.92625 - 6.6826625 + c (substitute a/b)
    => -41.6375875 = c (subtract 3.92625 - 6.6826625 from both sides)

Так что вы в конечном итоге с:

a =   0.0785250
b =  -0.1806125
c = -41.6375875

Если вы вставите эти значения обратно в A, B и C, вы обнаружите, что они верны.

Хитрость состоит в том, чтобы использовать простую матрицу 4x3, которая в свою очередь сводится к матрице 3x2, а затем к матрице 2x1, которая является "a = n", n-фактическое число. Как только у вас это есть, вы вводите его в следующую матрицу, чтобы получить другое значение, а затем эти два значения в следующую матрицу, пока вы не решите все переменные.

Если у вас есть N различных уравнений, вы всегда можете решить для N переменных. Я говорю различное, потому что эти два не являются:

 7a + 2b =  50
14a + 4b = 100

Они представляют собой одно и то же уравнение, умноженное на два, поэтому вы не можете получить из них решение - умножение первого на два, а затем вычитание оставляет вас с истинным, но бесполезным утверждением:

0 = 0 + 0

Например, вот некоторый код C, который работает с одновременными уравнениями, которые вы помещаете в свой вопрос. Сначала некоторые необходимые типы, переменные, вспомогательная функция для вывода уравнения и начало main :

#include <stdio.h>

typedef struct { double r, a, b, c; } tEquation;
tEquation equ1[] = {
    { -44.3940,  50, 37, 1 },      // -44.3940 = 50a + 37b + c (A)
    { -45.3049,  43, 39, 1 },      // -45.3049 = 43a + 39b + c (B)
    { -44.9594,  52, 41, 1 },      // -44.9594 = 52a + 41b + c (C)
};
tEquation equ2[2], equ3[1];

static void dumpEqu (char *desc, tEquation *e, char *post) {
    printf ("%10s: %12.8lf = %12.8lfa + %12.8lfb + %12.8lfc (%s)\n",
        desc, e->r, e->a, e->b, e->c, post);
}

int main (void) {
    double a, b, c;

Далее следует сведение трех уравнений с тремя неизвестными к двум уравнениям с двумя неизвестными:

    // First step, populate equ2 based on removing c from equ.

    dumpEqu (">", &(equ1[0]), "A");
    dumpEqu (">", &(equ1[1]), "B");
    dumpEqu (">", &(equ1[2]), "C");
    puts ("");

    // A - B
    equ2[0].r = equ1[0].r * equ1[1].c - equ1[1].r * equ1[0].c;
    equ2[0].a = equ1[0].a * equ1[1].c - equ1[1].a * equ1[0].c;
    equ2[0].b = equ1[0].b * equ1[1].c - equ1[1].b * equ1[0].c;
    equ2[0].c = 0;

    // B - C
    equ2[1].r = equ1[1].r * equ1[2].c - equ1[2].r * equ1[1].c;
    equ2[1].a = equ1[1].a * equ1[2].c - equ1[2].a * equ1[1].c;
    equ2[1].b = equ1[1].b * equ1[2].c - equ1[2].b * equ1[1].c;
    equ2[1].c = 0;

    dumpEqu ("A-B", &(equ2[0]), "D");
    dumpEqu ("B-C", &(equ2[1]), "E");
    puts ("");

Далее следует сведение двух уравнений с двумя неизвестными к одному уравнению с одним неизвестным:

    // Next step, populate equ3 based on removing b from equ2.

    // D - E
    equ3[0].r = equ2[0].r * equ2[1].b - equ2[1].r * equ2[0].b;
    equ3[0].a = equ2[0].a * equ2[1].b - equ2[1].a * equ2[0].b;
    equ3[0].b = 0;
    equ3[0].c = 0;

    dumpEqu ("D-E", &(equ3[0]), "F");
    puts ("");

Теперь , когда у нас есть формула типа number1 = unknown * number2, мы можем просто вычислить неизвестное значение с помощью unknown <- number1 / number2 . Затем, как только вы вычислили это значение, подставьте его в одно из уравнений с двумя неизвестными и вычислите второе значение. Затем подставьте обе эти (теперь известные) неизвестные в одно из исходных уравнений, и теперь у вас есть значения для всех трех неизвестных:

    // Finally, substitute values back into equations.

    a = equ3[0].r / equ3[0].a;
    printf ("From (F    ), a = %12.8lf (G)\n", a);

    b = (equ2[0].r - equ2[0].a * a) / equ2[0].b;
    printf ("From (D,G  ), b = %12.8lf (H)\n", b);

    c = (equ1[0].r - equ1[0].a * a - equ1[0].b * b) / equ1[0].c;
    printf ("From (A,G,H), c = %12.8lf (I)\n", c);

    return 0;
}

Выходные данные этого кода совпадают с предыдущими вычислениями в этом ответе:

         >: -44.39400000 =  50.00000000a +  37.00000000b +   1.00000000c (A)
         >: -45.30490000 =  43.00000000a +  39.00000000b +   1.00000000c (B)
         >: -44.95940000 =  52.00000000a +  41.00000000b +   1.00000000c (C)

       A-B:   0.91090000 =   7.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (D)
       B-C:  -0.34550000 =  -9.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (E)

       D-E:  -2.51280000 = -32.00000000a +   0.00000000b +   0.00000000c (F)

From (F    ), a =   0.07852500 (G)
From (D,G  ), b =  -0.18061250 (H)
From (A,G,H), c = -41.63758750 (I)

Для системы линейных уравнений 3x3, я думаю, было бы неплохо развернуть свои собственные алгоритмы.

Однако вам, возможно, придется беспокоиться о точности, делении на ноль или действительно малые числа и о том, что делать с бесконечно большим количеством решений. Мое предложение состоит в том, чтобы пойти со стандартным пакетом численной линейной алгебры, таким как LAPACK .

Взгляните на Microsoft Solver Foundation .

С его помощью вы могли бы написать такой код:

  SolverContext context = SolverContext.GetContext();
  Model model = context.CreateModel();

  Decision a = new Decision(Domain.Real, "a");
  Decision b = new Decision(Domain.Real, "b");
  Decision c = new Decision(Domain.Real, "c");
  model.AddDecisions(a,b,c);
  model.AddConstraint("eqA", -44.3940 == 50*a + 37*b + c);
  model.AddConstraint("eqB", -45.3049 == 43*a + 39*b + c);
  model.AddConstraint("eqC", -44.9594 == 52*a + 41*b + c);
  Solution solution = context.Solve();
  string results = solution.GetReport().ToString();
  Console.WriteLine(results); 

Вот такой выход:
===Решатель Фундамента Сервисной Отчета===
Datetime: 04/20/2009 23:29:55
Имя Модели: По Умолчанию
Запрошенные возможности: LP
Время решения (МС): 1027
Общее время (МС): 1414
Решить Статус Завершения: Оптимальный
Выбран Решатель: Microsoft.SolverFoundation.Solvers.SimplexSolver
Директивы:
Microsoft.SolverFoundation.Services.Directive
Алгоритм: Primal
Арифметика: Гибрид
Ценообразование (точное): по умолчанию
Цена (двойная): SteepestEdge
Основание: Провисание
Pivot количество: 3
= = = Детали Решения===
Цели:

Решения:
ответ: 0.0785250000000004
б: -0.180612500000001
c: -41.6375875

Вы ищете программный пакет, который будет выполнять эту работу или фактически выполнять операции с матрицей и тому подобное и выполнять каждый шаг?

Первый, мой коллега только что использовал Ocaml GLPK . Это всего лишь оболочка для GLPK,но она удаляет многие шаги настройки вещей. Хотя, похоже, вам придется придерживаться GLPK, в C году. Для последнего, благодаря delicious за сохранение старой статьи, которую я использовал, чтобы узнать LP некоторое время назад, PDF . Если вам понадобится конкретная помощь в дальнейшей настройке, дайте нам знать, и я уверен, что я или кто-то еще вернется и поможет, но я думаю, что это довольно прямолинейно отсюда. Удачи Вам!

Шаблон численного инструментария от NIST есть инструменты для этого.

Одним из наиболее надежных способов является использование QR-декомпозиции .

Вот пример обертки, чтобы я мог вызвать "GetInverse(A, InvA)" в своем коде, и он поместит обратное в InvA.

void GetInverse(const Array2D<double>& A, Array2D<double>& invA)
   {
   QR<double> qr(A);  
   invA = qr.solve(I); 
   }

Array2D определяется в библиотеке.

Судя по формулировке вашего вопроса, кажется, что у вас больше уравнений, чем неизвестных, и вы хотите свести к минимуму несоответствия. Обычно это делается с помощью линейной регрессии, которая минимизирует сумму квадратов несоответствий. В зависимости от размера данных, вы можете сделать это в электронной таблице или в статистическом пакете. R - это высококачественный, бесплатный пакет, который делает линейную регрессию, среди множества других вещей. В линейной регрессии есть много чего (и много готча), но как это просто сделать для простых случаев. Вот пример R с использованием ваших данных. Обратите внимание, что "tx"-это перехват вашей модели.

> y <- c(-44.394, -45.3049, -44.9594)
> a <- c(50.0, 43.0, 52.0)
> b <- c(37.0, 39.0, 41.0)
> regression = lm(y ~ a + b)
> regression

Call:
lm(formula = y ~ a + b)

Coefficients:
(Intercept)            a            b  
  -41.63759      0.07852     -0.18061  

Если вы всегда будете иметь одинаковое количество уравнений в качестве переменных, то мне нравится правило Крамера , поскольку его легко реализовать. Просто напишите функцию для вычисления детерминанта матрицы (или используйте тот, который уже написан, я уверен, что вы можете найти его там) и разделите детерминанты двух матриц.

Лично я неравнодушен к алгоритмам численных рецептов . (Мне очень нравится издание C++.)

Эта книга научит вас, почему алгоритмы работают, а также покажет вам некоторые довольно хорошо отлаженные реализации этих алгоритмов.

Конечно, вы можете просто слепо использовать CLAPACK (я использовал его с большим успехом), но я бы сначала набрал алгоритм исключения Гаусса, чтобы иметь хотя бы слабое представление о том, какая работа была проделана для обеспечения стабильности этих алгоритмов.

Позже, если вы занимаетесь более интересной линейной алгеброй, просмотр исходного кода Octave ответит на множество вопросов.

function x = LinSolve(A,y)
%
% Recursive Solution of Linear System Ax=y
% matlab equivalent: x = A\y 
% x = n x 1
% A = n x n
% y = n x 1
% Uses stack space extensively. Not efficient.
% C allows recursion, so convert it into C. 
% ----------------------------------------------
n=length(y);
x=zeros(n,1);
if(n>1)
    x(1:n-1,1) = LinSolve( A(1:n-1,1:n-1) - (A(1:n-1,n)*A(n,1:n-1))./A(n,n) , ...
                           y(1:n-1,1) - A(1:n-1,n).*(y(n,1)/A(n,n))); 
    x(n,1) = (y(n,1) - A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1))./A(n,n); 
else
    x = y(1,1) / A(1,1);
end